원주율이란?

원주율은 ‘원의 둘레’와 ‘원의 지름’의 비율을 뜻합니다. 일반적으로 파이라 부르고 π로 적습니다. 원주율은 원과 부채꼴의 넓이는 물론이고, 구의 부피를 구할 때도 필수적인 값입니다.

원 둘레에 관한 호기심

고대 동서양에서는 바퀴, 도르래 등 생활 속 편리한 원의 중요성을 체감하고 갖가지 측정을 통해 원의 지름과 둘레 사이의 특별한 관계를 헤아리기 시작했습니다. 그리고 원의 크기와 상관없이 원주율은 동일하다는 것을 깨달았습니다. 고대 이집트인들은 끈과 막대 두 개를 컴퍼스처럼 고정하여 원을 그리고 원의 지름과 둘레에 각각 사용된 끈의 길이를 비교하여 원주율을 구했습니다.

기원전 약 1,650년 무렵 이집트의 수학 체계가 담긴 『린드 파피루스』에는 원의 넓이를 구하는 문제와 함께 원주율을 3.16…으로 계산한 내용도 기록되어 있습니다. 이는 당시 서기였던 아메스가 비슷한 넓이의 원과 정사각형의 지름, 변의 길이를 이용해 분수화한 것으로 오늘날의 원주율에 매우 근접한 수치였습니다. 메소포타미아인들은 지름의 3배가 둘레라고 어림잡았으며, 고대 중국의 수학 교과서 『구장산술』에서도 원주율을 약 3으로 서술했습니다.

원주율을 향한 수학자들의 여정

• 수학적 계산법 고안

  기원전 400년 경 정다각형 변의 수를 계속 더하다 보면 결국에는 원이 될 것이라는 주장이 제기되었고, 그리스의 수학자 아르키메데스는 이 방식을 이용한 수학적 계산으로 원주율의 정확성을 높였습니다. 그는 ‘원에 내접하는 정n각형의 둘레의 길이’와 ‘외접하는 정n각형 둘레의 길이’ 사이에 원 둘레가 존재한다는 사실에 기초하여 계산을 시작했습니다.

  원의 안팎에 정96각형을 그리고 값을 측정한 그는 원주율이 223/71과 22/7 사이에 있다는 것을 알아낸 뒤 원주율의 소수점 아래 2자리까지 정확하게 맞추는 데 성공했습니다. 하지만 정다각형의 변을 아무리 늘려도 그 값은 하나의 수로 고정되지 않고 근소하게 달라졌습니다. 극도의 근사치를 향한 그의 도전은 미적분학의 시초로 일컬어집니다.

• 원주율의 정확성에 도전
  • 5세기 경 중국조충지원을 원보다 작은 다각형으로 나눠 넓이를 구하는 ‘할원술(割圓術)’을 적용하여 원주율 소수점 아래 7자리까지의 값을 구했습니다.
  • 1621년 독일루돌프 판 코일렌461경 이상의 변으로 이루어진 정다각형을 연구해 원주율의 35번째 자릿수를 공표했습니다. 그는 직접 구한 값을 묘비에 새겨 달라는 유언을 남길 정도로 원주율에 대한 애정이 대단했습니다.
  • 1873년 영국윌리엄 샹크스15년간 원주율 계산에 매달려 소수점 아래 707자리까지 계산했지만 20세기 이후 이 값을 검산한 결과 529자리부터 오류가 있다는 사실이 드러났습니다.
• π의 탄생

  원주율을 나타내는 기호 π(파이)는 1706년, 영국의 수학자 윌리엄 존스가 둘레(περιμετροζ)를 뜻하는 그리스어의 첫 글자를 따 가장 먼저 사용했습니다. 그리고 1736년, 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 자신의 저서에 원주율을 π 기호로 지칭하며 전 세계에 알려지게 되었습니다.

• 무리수와 초월수의 증명

  파이 연구가 한창이던 1761년, 독일의 수학자 요한 람베르트는 파이가 분수의 형식으로 나타낼 수 없고, 소수점 아래 숫자가 순환 없이 무한히 계속되는 ‘무리수’라는 것을 발견했습니다. 여기에 독일의 수학자 페르디난트 폰 린데만이 파이는 대수 방정식으로는 구할 수 없는 ‘초월수’임을 추가로 증명했습니다. 이로 인해 어떠한 경우에도 완전한 π를 찾는 것은 불가능하다는 결론이 내려졌습니다.

원주율의 한계를 깬 컴퓨터의 등장

1946년, 진공관 컴퓨터 에니악의 개발로 원주율을 향한 인간의 도전도 날개를 달았습니다. 알고리즘을 활용해 약 70시간 동안 소수점 아래 2,037번째 자릿수를 밝히는 데 성공한 것 입니다. 일본의 한 회사원은 개인 컴퓨터를 이용해 소수점 아래 5조 자리까지 계산하여 놀라움을 안기기도 했습니다. 2021년에는 스위스의 한 연구진이 방대한 데이터를 초고속으로 처리하는 슈퍼컴퓨터로 62조 8천억 번째 자릿수까지 세상에 알려 세계 기록을 경신했습니다. 기계를 활용한 원주율 계산은 지금도 끝없이 이어지며, 슈퍼컴퓨터의 성능과 속도를 평가하는 척도로도 사용되고 있습니다.